以黑龙江省为例探讨高考函数类试题分布和考点类型

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函数是高中数学的重要组成部分,同时也是高考考查的重点模块.每一年的高考试卷都有函数试题,题型分布在选择题、填空题以及解答题.可以说函数知识点占据了全国高考卷的半壁江山.函数是初中数学与高中数学的重要衔接,因为函数具有较强的网络交汇能力,它在与传统内容的结合上,从无到有,从弱到强,无论在深度上还是广度上都在逐渐加强.在高考试卷中,一般是通过函数试题来考查考生观察的能力和构造的能力,从中可以看出,将函数与传统内容有机结合起来设问,使得试题更加新颖别致,不仅仅融汇了众多数学知识,而且也融入了丰富的数学思想方法。

黑龙江地区从2007年开始课改,至今已有12个年头,2019年又将迎来新一轮的课程改革.在这12年里高考试题也随着课程改革而发生变化,自2010年起黑龙江地区高考文理科数学采用新课标卷,将数列解答题与解三角形解答题交替出现在第一道大题的位置,并且增加了几何证明选讲、极坐标与参数方程、不等式选讲三道选做题.但是对函数的考察没有太大的变化.所以笔者选择以黑龙江地区2007-2018年高考数学文理科共24套试卷为研究样本,研究2017版《普通高中数学课程标准》中的函数及应用.函数及应用试题分布如下表2-1:

在这24套高考试卷中,基本初等函数部分考察了39道填选题、三角函数部分考察了42道填选题、导数部分考察了23道填选题、24道解答题.单独考察函数部分知识的题型分值平均为34. 33分,占据了高考试卷总分数的五分之一文科试卷函数试题的分值平均为34. 83分,理科试卷函数试题的分值平均为33. 83分.如下表2-2

文科试卷对函数部分的考察比例相对稳定,保持在35分上下.而理科试卷的浮动相对剧烈,可以更清晰的显示出高考试题对函数部分考察比例的趋势.

根据表2-2我们可以清晰地发现高考数学理科试卷对函数部分的考察分值在2007-2011年一直处在比较高的位置.尤其是在黑龙江地区改用新课标卷的2010年更是达到了47分.而在2018年高考理科试卷中函数部分的分值经历了6年的低谷又迎来了高峰.这样的时间节点不难让我们联想到课程改革对函数部分知识考察比例的影响.函数知识具有多样性、基础性,在课程改革的前后增加对函数知识点的考察可以增加出题人员的选择,减少教师、学生对试题变化带来的困扰.这也是笔者选择研究高考函数试题的重要原因.

在这24套样本试卷中,基本初等函数都以选择题和填空题的形式来考察.其中对函数奇偶性的考察频次是最多的,出现了14次,对数函数8次,函数图像7次,对数运算6次,单调性4次.鉴于导数可以刻画函数的单调性,分流了大部分的单调性试题.所以函数的奇偶性、单调性以及对数函数是本模块的考察重点.

从表2-3中发现单独考察一个知识点的试题为21道,比考察多个知识点的试题多.但是单独考察一个知识点的试题大多集中在2007-2009年的高考试卷中,在2010年采用新课标卷以后,考察多个知识点的试题比例就大大的增加了,试题的难度与综合性都相应增大,逐渐使函数的考察方向由单一向复合转变.

三角函数一般都以选择题和填空题的形式出现在高考中.主要考察两个大方向,一是利用三角函数恒等变换化简复杂的三角函数式并以此解决问题,二是三角函数的图像与性质.如下表2-4

其中出现频次最多的考点是利用三角恒等变换化简求最值,共出现了11次.三角函数恒等变换与辅助角公式均出现10次(由于辅助角公式没有出现在教材与课程标准中,所以从三角函数恒等变换中单独罗列出来,后续再做细致研究).三角函数性质共考察了13次,其中单调性7次,周期性3次,奇偶性2次,对称性1次.三角函数的图像考察了6次,图像的变换考察了3次.

和基本初等函数一样,在2010年采用新课标卷以后,诱导公式以及同角基本关系就不再单独出题,而是融合于其他试题一起考察,增加了三角函数的考察难度与综合性,使考察目标由掌握基础知识、基本技能升华为具备基本思想与基本活动经验.

其中有14道试题考察的是利用导数的性质求解过定点的切线道试题是利用导数刻画函数的单调性,3道求函数的极值,还有3道考察的积分.导数解答题往往占据着高考压轴最后一道大题的位置,都是运用导数的正负来描述原函数的单调性,进而求解出函数的极值、最值,以及证明恒成立问题等等.看似简单的过程,实则需要考生函数导数的基本功十分扎实,拥有一定的计算能力、分析能力.可以说导数解答题是整套高考试卷中对学生综合能力要求最高的一道试题.

函数作为高中数学课程的主线,高考考察的重点,具有重要的研究意义.从“四基”的角度来解读高考试题中的函数,是研究高中函数教学的新方向,具有时代性与创新性.从基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验四个层面来解读高考试题中的函数,可以让学生更容易理解自己掌握函数知识的程度,可以让教师有的放矢地针对学生的薄弱环节进行教学,具有事半功倍的效果.

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